$\mathbb R$ kümesinin altkümeleri için, her altkümeden bir temsilci seçme kuralının(fonksiyonunun) bulunmasının imkansız olması nasıl ispatlanır?

Question

Altgruplardan ve ötelemelerden seçilen temsilcilerinin ne demek olduğunu ve ne işe yaradığını zaten burada sormuştum;
Link:http://matkafasi.com/107301/gruplardan-altgruplarindan-temsilciler-yaradiklari-altgruplarin

Peki bu altgrup otelemelerinden seçilen temsilcileri neden her zaman belirleyemiyoruz?Belki şurada bir yerde bir kural vardır ama belki biz bilmiyoruz ama kural vardır diyebilir miyiz(bu dedıklerım belkı seçim aksıyomuna benzıyor ama anlatmak istediğim şey tamamen secım aksıyomundan bagımsız), hanı bir aksıyomdan daha guclu bır dayanak ile nasıl bunu derız?Biliyorum ki bunu diyemiyecegim peki diyemeyecegimi nasıl ispatlarım?Biçimsel matematik sembollerı gibi mantıksal onermelerle mı?Nasıl?


Temsilci seçemeyecegimiz durum:

1. $\mathbb R$'nin alt kümelerinden seçilen temsilciler.(Seçim aksiyomu sağolsun)
   

Temsilci seçebileceğimiz durumlar:

1. $\mathbb Q$, dizi şeklinde belli bir kuralda yazılıp eğer sayımız $a/b$ ise $a+b$'nin toplamsal özelliğine göre seçebiliriz.
   
   
2. $\mathbb R$'nin alt-aralıkları
   
   
3. $\mathbb Z$ , $0$ a en yakın olanın en küçüğünü/en büyüğünü seçerek gibi gibi.

Matematik Köyü-Grup Teorisi-Ders 2-Ali Nesin-https://www.youtube.com/watch?v=7oRoolmLl9s&list=PL-VAZnoQqQ4VMa7_tsOZfqVi_o8Cend1c&index=2

Comments

Benzer bir soru: https://math.stackexchange.com/questions/454015/we-cannot-write-this-function

Answer 1

Kümeler kuramının öyle bir modelini bulursun ki, o modelde bir grubun bir altgrubunun ötelemelerinin temscilerinden oluşan bir küme yoktur. Tabii kümeler kuramının o modelinde seçim aksiyomu doğru olamaz. Bu da seçim aksiyomu (ya da en az onun kadar güçlü bir aksiyom olmadan) olmadan temsilciler kümesinin varlığının kanıtlanamayacağını gösterir.

Kümeler kuramının öyle bir modelinin nasıl bulunduğunu ben de bilmiyorum. Ve tabii öyle bir model acak Zermelo-Fraenkel aksiyom sisteminin tutarlı olduğu varsayılarak bulunabilir.