$\epsilon$ ve $\epsilon$ 'un pozitif reel çarpımları için tanımı kullanmak.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
53 kez görüntülendi

Sorum basit,$$(\forall\epsilon>0)(\exists N\in\mathbb R)(\forall n\in\mathbb N)(n>N\Longrightarrow |x_n-x|<\epsilon)$$Bu tanımdaki $\epsilon >0$ yerine $\mu>0$ için $\mu\epsilon$ alalım alalım ama bu doğru mudur(bence kesinlikle evet çünkü eğer $\epsilon$ tüm pozitif reel sayılar olabiliyorsa bir pozitif reel sayı ile çarpımı bu küme altında kapalı olacagından gene tüm pozitif sayıları sağlar)eğer dogru ise ispatını yapmak için parantez içinde yazdığım "pozitif reel sayılar kümesinin çarpma altında kapalılıgın"ı kullanmak yeterli olur mu?

Bir örnek;

$n\to\infty$ için yakınsak iki limitin, limitleri toplamının, toplamının limitine eşit olduğunun ispatını yapalım;

$(x_n)_n$  ve  $(y_n)_n$ yakınsak dizilerinin lımıtlerı sırasıyla $x,y$ olsun.
 
$n>N_1$ için $|x_n-x|<\epsilon $(tanım geregi)

ve  

$n>N_2$ için $|y_n-y|<\epsilon$(tanım gereği) 


$N=\max\{N_1,N_2\}$

$|x_n+y_n-x-y|\le|x_n-x|+|y_n-y|<2\epsilon$  dikkat edilirse $2 \epsilon$ bulduk.

29, Mart, 2017 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,732 puan) tarafından  soruldu
...