Her Cauchy dizisinin $\mathbb R$'de bir limiti vardır ve her yakınsak dizi bir Cauchy dizisidir.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
145 kez görüntülendi
İlgili link:
(Cauchy dizilerinin yakınsak dizilerden farkı.)http://matkafasi.com/104409/

                                                           
11, Mart, 2017 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,732 puan) tarafından  soruldu
11, Mart, 2017 Anil tarafından düzenlendi

Dogru ya da eksiksiz olsaydi bari bilgi paylasimi. Bu her zaman dogru degil.

düzeltildi.         

Uyarılar ve link için teşekkürler,Sercan hocam,Ozgur hocam, Russian hocam.

Buraya da göz atabilirsin.

Sağol Murad hocam.

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

$\mathbb{R}$'de (hatta metrik uzaylarda) yakınsak her dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu göstermek kolay. Bu yüzden $\mathbb{R}$'deki herhangi bir Cauchy dizisinin yakınsak olduğunu gösterirsek ispat biter. Burada gerçel sayılar kümesi üzerinde alışılmış metriğin olduğunu varsayıyoruz. Farklı metrikler söz konusu olduğunda iddia doğru olmayabilir.

$\langle x_n\rangle, \mbox{ } \mathbb{R}$'de bir Cauchy dizisi ve $\epsilon>0$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} \langle x_n\rangle\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\text{ Cauchy}  \\ \epsilon>0\end{array}\right\}\Rightarrow (\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N})(\forall n,m\geq N(\epsilon))\left(|x_n-x_m|<\epsilon\right)$

$\Rightarrow(\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N})(\forall n\geq N(\epsilon))\left(|x_n-x_{N(\epsilon)}|<\dfrac{\epsilon}{2}\right)$

$\Rightarrow(\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N})(\forall n\geq N(\epsilon))\left( x_{N(\epsilon)}-\dfrac{\epsilon}{2}<x_n<x_{N(\epsilon)}+\dfrac{\epsilon}{2}\right)$

$\Rightarrow(\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N})(\forall n\geq N(\epsilon))\left( x_n\in A:=\left(x_{N(\epsilon)}-\dfrac{\epsilon}{2},x_{N(\epsilon)}+\dfrac{\epsilon}{2}\right)\right)$

$\Rightarrow(\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N})(\forall n\geq N(\epsilon))\left( x_n\in B_N:=\left\{x_{N(\epsilon)},x_{N(\epsilon)+1},x_{N(\epsilon)+2},\ldots\right\} \subset A\right)$

$\Rightarrow(\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N})(\forall n\geq N(\epsilon)) (|B_N|=\aleph_0)\left(x_{N(\epsilon)}-\dfrac{\epsilon}{2}\in B_N^a\neq\emptyset\right)\left(x_{N(\epsilon)}+\dfrac{\epsilon}{2}\in B_{N}^{ü}\neq\emptyset\right)$

$\Rightarrow(\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N})(\forall n\geq N(\epsilon)) (\exists x\in\mathbb{R})(x=\sup B_N)\left(x_{N(\epsilon)}-\dfrac{\epsilon}{2}\leq x\leq x_{N(\epsilon)}+\dfrac{\epsilon}{2}\right)$

$\Rightarrow(\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N})(\forall n\geq N(\epsilon))\left(|x-x_{N(\epsilon)}|\leq\dfrac{\epsilon}{2}\right)$

$\Rightarrow(\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N})(\forall n\geq N(\epsilon))\left(|x_n-x|\leq|x_n-x_{N(\epsilon)}|+|x_{N(\epsilon)}-x|<\dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2}=\epsilon\right)$

$\Rightarrow x_n\rightarrow x.$
12, Mart, 2017 murad.ozkoc (8,886 puan) tarafından  cevaplandı
12, Mart, 2017 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

Formalizasyonu belki biraz daha iyi yapılabilir. Zaman içerisinde belki formalizasyonunu tekrar ele alabilirim.

...