$\Bbb{Z}_{4}[x]$ polinom halkasındaki bütün sıfır bölenleri bulunuz?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
77 kez görüntülendi
18, Mayıs, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Handan (1,516 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Eğer $0\ne a$ bir sıfır bölen ise bir adet $0\ne b$ elemanı vardır ki $ab=0$ olsun. Bu durunda $4|ab$ fakat $4\not | a,b$. Bu da $2|a,b$ demek. Bu durumda $a=2f(x)$ olacak şekilde bir $f(x)$ polinomu vardır. Hatta bu şekilde yazılabilen bir elemanı/polinomu $2$ ile çarparsak sıfır elde ederiz. Demek ki hepsi bu formdaymış.

27, Ağustos, 2015 Sercan (23,864 puan) tarafından  cevaplandı

Çözüme böyle başlamak uygun mu? Yoksa $f(x)g(x)=0$ olsun diyerek ve Katsayılar üzerinden (cevabınıza benzer) gitmek daha doğru olmaz mı?

$a$ dediğim bir polinom zaten. Aslında o şekilde başladım. Katsayılara teker teker girmek meşakkatli sanki. Burda $2$'nin tersinir olmadığını bir şekilde kullanmalıyız. 

Aslında $\mathbb Z[x]$ üzerinde modulo $4$'te çalışıyoruz. 

...