Pozitif $x$, $y$ sayıları için $ x^3+y^3=x-y $ ise $x^2+y^2<1$ olduğunun ispatı

0 beğenilme 0 beğenilmeme
159 kez görüntülendi

https://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201702&t=mat&l=en

C.1401 sorusunun İngilizce'den Türkçe'ye çevirisi.

Pozitif x , y sayıları , $ x^3+y^3=x-y $ denklemini sağlar.

$x^2+y^2$  < 1 olduğunu ispatlayınız.

Yorumum şöyle:

$ (x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$  ve  $ (x+y)^2=x^2+y^2+2xy$

bu sorunun çözümüne katkısı olabilir mi?

1, Mart, 2017 Serbest kategorisinde suitable2015 (3,914 puan) tarafından  soruldu
1, Mart, 2017 suitable2015 tarafından düzenlendi

1 cevap

4 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$x^3<x^3+y^3=x-y<x$ den $0<x<1$ olduğu elde edilir. 

Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliğinden $x^2=\sqrt{x\cdot x^3}\leq\frac{x+x^3}2$ ve

$y^2=\sqrt{y\cdot y^3}\leq\frac{y+y^3}2$ olur. Toplarsak:

$x^2+y^2\leq\frac{x+x^3+y+y^3}2=\frac{x+y+x-y}2=x<1$ elde edilir.


1, Mart, 2017 DoganDonmez (3,576 puan) tarafından  cevaplandı
1, Mart, 2017 suitable2015 tarafından seçilmiş

Elinize sağlık.  ilk satırdaki 0<x<1  ifadesi nasıl elde edildi? 

$x>0$ ve $x^3<x$ (yani $x^3-x=x(x-1)(x+1)<0$) oluşundan elde ediliyor.

...