$2^{tek}-1$ sekildeki sayilarin hiçbirini bolmeyen sayilar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
94 kez görüntülendi

$2^{tek}-1$ sekildeki sayilari bolmeyen asal sayilar nelerdir. Mesela 2,3,5 buna ornek ama $7|2^3-1$.

16, Şubat, 2015 Serbest kategorisinde Sercan (23,218 puan) tarafından  soruldu
24, Şubat, 2015 Safak Ozden tarafından düzenlendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu zor bir soru, ancak örnek verebilirim.


$q\equiv 3,7 \pmod 8 $ bir asal olsun, $p = 2q + 1$ de bir asal olsun.


$\mathbb{Z}/ p \mathbb{Z}$ halkasının eleman sayısı $p-1 = 2q$, Burada $\overline{2} \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ elemanının derecesi ya $q$ ya da $2q$ (2 olamaz, o şerefe $-1 \equiv 2q$ nail). Biz (nedense) ilk durumun olmasını istiyoruz. Demek ki $2^{q} \equiv 1 \pmod p$ ama ayni zamanda

$$ 2^{\frac{p-1}{2}} \equiv \left(\frac{2}{p} \right) \pmod p.$$

Ancak sağdaki elemanın ne olduğunu biliyoruz.
$$\left(\frac{2}{p} \right) = \begin{cases} 1 & \text{ if } p \equiv 1,7 \pmod 8, \\ -1 &\text{ if } p\equiv 3,5 \pmod 8. \end{cases}$$

Demek ki $p \equiv 1,7$ olan Sophie Germain asalları istediğiniz özelliği sağlıyor.

$7 = 2\cdot 3 + 1$ olduğundan bir Germain asalı, ve modülo $8$ istediğimiz kalan sınıfında.

Bir sonraki örnek de $23 = 2\cdot 11 + 1$. Burada da $2$'nin $11$'inci kuvveti $1$'e eşit olur.

Yalnız dikkat edin, tüm örnekleri verdiğimi iddia etmiyorum, $p = 31$ istediğiniz özelliği sağlar ama benim verdiğim formda değildir.




17, Şubat, 2015 E. Mehmet Kıral (253 puan) tarafından  cevaplandı
Anladigim kadariyla (yanlis da anlamis olabilirim ama) olmayan ornekleri vermissin galiba, 7 ve 23 gibi. Ben olanlari istiyordum. Tumunu bolmemesi gerekiyor bu sayilarin. Evet soru gercekten zor, ama ne kadar bulabilirsek diye sordum ve serbest katagorisine ekledim. Bu sonuc da en azindan bir kismini elettirdi. 

Evet tersini verdim.


Ancak $p = 2q + 1$ ve $p \equiv 3,5 \pmod 8$ ise o zaman sizin istediğinize örnek de bulunmuş olur.

...