$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+.....}}}}$ bu dizinin limiti var mıdır?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
105 kez görüntülendi

Var olduğunu ve limitin $u$ olduğunu kabul edelim.(limitin biricikliğinden $u$ bir ve birtek olmalıdır.)

$$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+.....}}}}=u$$

Daha sonra, geleneksek yaklaşımdan dolayı;


$$\sqrt{a+\underbrace{\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+.....}}}}_{u}}=u$$   dolayısıyla;

$$\sqrt{a+u}=u\quad\to\quad 0=u^2-u-a$$ dolayısıyla $u$'nun 2 kökü var, şöyle ki;

$$u_{(1,2)}=\dfrac{1\pm \sqrt{1+4a}}{2}$$



SORU :

Hani limit biricikti? O zaman bu dizinin limiti yok mudur? Var mıdır? Belli koşullar sağlanırsa limiti olur mu? Ve en önemlisi bu yaptığımız geleneksel taktik yanlış değil mi?

15, Ocak, 2017 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,700 puan) tarafından  soruldu
$$a=?$$ ve dizinin ilk üç terimini yazabilir misin?

$(f_n)_n$ dersek diziye,

$f_1=\sqrt a$

$f_2=\sqrt{a+\sqrt a}$ 

$f_3=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt a}}$

$f_{n+1}=\sqrt{a+f_{n}}$


$a$'nın ne olduguna göre bu $u$'nun 2 tane olması değişiyor mu? ($a$ tanımlı oldugu sürece ve  kök içinde tanımsızlık yaratmadığı sürece)

Yaptığın şey "limit varsa bu eşitliği sağlar" diyor. Limit hala biricik, o iki değerden bir tanesi. 

Bu arada, limitin var olduğunu (yani dizimizin yakınsak olduğunu) gösterme kısmını unutmayalım.

Burada benzer bir şey tartışmıştik.

@Ozgur hangısı? $(-1)^n$ dizisi gibi $1$ ve $-1$ yani $u_1$ ve $u_2$ oluyorsa? Dolayısıyla lımıtı nasıl bulabılecegız?

@DoganDonmez, hocam aynen hatta dızının genel terımını, başka bir terimi bulacak şekilde revize edebilir miyiz?

@Anil Cevabının ilk cümlesi "Var olduğunu kabul edelim. $(-1)^n$ dizisinin limiti olmadığını biliyoruz. Dolayısıyla limiti bulamayacağız. 

O şeye $u$ dediğin anda limitin varlığını kabul etmiş oluyorsun. Sonrasında yaptığın cebirsel manipülasyonlar da sana limitin ne olabileceği hakkında bir fikir veriyor. 

Senin yaptığın şey şunu söylüyor: "Bu dizinin limiti şu denklemin bir köküdür.". Şunu söylemiyor: "Şu denklemin bütün kökleri, bu dizinin limitidir."

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Anıl hocam

En son bulduğunuz

$u_{(1,2)}=\dfrac{1\pm \sqrt{1+4a}}{2} $

ya göre iki kök var.fakat dikkat ederseniz,

$u^2-u-a=0 $ denkleminin kökleri $u_1 $ ve $u_2 $ ise

$u_1.u_2<0 $ olacağından kök ifadesinin tanımı gereği pozitif olanı almak zorunda değil miyiz? Yani limit hala tek ve biricik değil mi?

15, Ocak, 2017 buskerhaund-Engin (218 puan) tarafından  cevaplandı

$-a=u_1u_2$ ama a negatıvse de kök içi saglanmıyor mu?


$a$ negativ ise $u$, $a$ dan büyük olmalı ise hala tanımlılık saglanıyor sanırım, oyuzden pek emın olamadım.

dizinin genel terimini, başka bir $f_i$ için bulabilicek şekilde yazabilirsek, hem yakınsaklıgı hem de limiti kolaycana bulabılırız gibi, $a$ negativ olma durumu sözkonusu mu sizce de?

Hocam hangi cümlede çalışıyoruz? Benim de kafam karıştı şimdi.bence yöntem üzerinde yoğunlaşmalıyız.

Bir de hocam a hangi durumda negatif olacak?Çok genel bir halini konuşuyoruz sanırım.



a>0 icin bu cozum dogru hocam, negatifkenki durumu da eklerim, tesekkurler.

Tesekkurler hocam.a<0 merak ediyorum


...