$\displaystyle\int_0^\infty e^{-x^2}dx$ için çözüm metodlarını ekleyiniz.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
84 kez görüntülendi

Metod 1:

$$e^{-x^2}$$ çift fonksiyon olduğundan, 


$$2\displaystyle\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx$$


$$I=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx$$ diye tanımlayalım


$$I^2=\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx\right)\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2} dy\right)$$


Polar koordinatlara çevirirsek;


$$I^2=\displaystyle\int_0^{+2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}r\;\;dr\;d\theta=2\pi\int_0^\infty e^{-r^2}r\;dr$$olur.


$u=r^2$ dönüşümü yaparsak;


$$I^2=\pi\int_0^\infty e^{-u}du=\pi$$


$$I=\sqrt \pi$$


Dolayısıyla integral;


$$2\displaystyle\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx=\pi$$$$\to$$$$\displaystyle\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt\pi/2$$


12, Ocak, 2017 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,729 puan) tarafından  soruldu

Soru ile icerik farkli gibi.

taylor serileri ile her alt ve üst sınır için yaklaşık değerler bulunabilir fakat belirsiz integral haliyle genel çözüm yapılamaz.Tek söyleyebileceğimiz eğer çözülebilseydi sonucun tek fonksiyon olduğu ve integral sabitinin olmadığıdır.

aynen belırlı ıntegral zaten, düzeltildi.

...