$f(x(t),y(t))$'nin $ t $ ye göre türevi ve $f(x(t),y(t),z(t))$'nin t ye göre türevini nasıl bulcaz

1 beğenilme 0 beğenilmeme
46 kez görüntülendi

normalde tek degışkenlı one varıablelerde türev alırken dırekt olarak $d/dt(f(x,y))$ yapıyorduk sonra içerdekilerin tek tek dt ye gre turevlerıne bakıp sadeleştırıyorduk, burada tam nasıl alacagız?kafam aşşırı karıştı lutfen yardım edın uzman abılerım

10, Ocak, 10 Lisans Matematik kategorisinde Erkin B. YORULU (41 puan) tarafından  soruldu
13, Ocak, 13 Anil tarafından düzenlendi

biraz dagınık başlıgı ve içeriği düzenleyiniz

$\frac{d}{dt}[f(x(t),y(t))]=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

evet de zaten arkadaş bunun nedenını sormuş sanırım, biraz düşündüm ben de ama 3 boyutlu yüzeylere bakmak gerek .

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Genel olarak şu kuralı arıyoruz;

$U(x_1(t),x_2(t),....,x_i(t))$ diye bir türevlenebilen fonksiyon tanımlarsak;

$$\dfrac{dU}{dt}=\dfrac{\partial U}{\partial x_1}\dfrac{dx_1}{dt}+\dfrac{\partial U}{\partial x_2}\dfrac{dx_2}{dt}+...+\dfrac{\partial U}{\partial x_i}\dfrac{dx_i}{dt}$$

olur ama neden?

$$-----------------------------$$
$x,y$  fonksiyonları $t$'ye bağlı olsun

$f(x(t),y(t))$ diye türevlenebilen bir fonksiyon tanımlıyoruz:

$$\dfrac{df}{dt}=\dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{dx}{dt}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{dy}{dt}$$

Olduğunu ispatlayalım


$G(t)=f(x(t),y(t))$  olsun;

$$\begin{align}\frac{\triangle G}{\triangle t}&=\frac{f(x(t+h),y(t+h))-f(x(t),y(t))}h\\&=\frac{f(x(t+h),y(t+h))\color{#3388dd}{-f(x(t+h),y(t))+f(x(t+h),y(t))}-f(x(t),y(t))}h\\&=\color{red}{\underbrace{\color{black}{\frac{f(x(t+h),y(t+h))-f(x(t+h),y(t))}h}}_{A}}+\color{red}{\underbrace{\color{black}{\frac{f(x(t+h),y(t))-f(x(t),y(t))}h}}_{B}}\end{align}$$

$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\triangle G}{\triangle t}=\dfrac{dG}{dt}$

olduğundan

$$\begin{align}A&=\frac{f(x(t+h),y(t+h))-f(x(t+h),y(t))}h\\&=\frac{f(x(t+h),y(t+h))-f(x(t+h),y(t))}{\color{#3388dd}{y(t+h)-y(t)}}\frac{\color{#3388dd}{y(t+h)-y(t)}}h\\&\to\lim\limits_{h\to 0}A=\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}\end{align}$$


$$\begin{align}B&=\frac{f(x(t+h),y(t))-f(x(t),y(t))}h\\&=\frac{f(x(t+h),y(t))-f(x(t),y(t))}{\color{#3388dd}{x(t+h)-y(t)}}\frac{\color{#3388dd}{x(t+h)-y(t)}}h\\&\to\lim\limits_{h\to 0}B=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}\end{align}$$


$\dfrac{dG}{dt}=\lim\limits_{h\to 0}(A+B)=\dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{dy}{dt}+\dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{dx}{dt}$

İspat biter. $\Box$

13, Ocak, 13 Anil (6,713 puan) tarafından  cevaplandı
14, Ocak, 14 Anil tarafından düzenlendi

Türev tanımındaki lim'i yazmak gerekli değil mi?

evet, lımıt h 0a gıttıgı barız ama eklemeyı unutmuşum :)

...