a,b,c pozitif reel sayılar ve $a+b+c=10$'dur.Buna göre a.b.c çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
536 kez görüntülendi

Birbirine en yakın 3 sayıyı bulmak zor ve bu sayılar tam sayı olması kesin değil.Değer veriyorum ama çıkmıyor.

9, Ocak, 2017 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Cris (879 puan) tarafından  soruldu

Aritmetik ortalama büyük eşit geometrik ortalama eşitsizliğini kullanın. En temizi.

Zaten en büyük değeri a=b=c olduğunda alacaktır. Bunun için sayılardan biri 10/3 olsa yeter.

Aynen Doğukan'ın dediği gibi yapılacak.Sayıların en yakını zaten birbirine eşit olmasıdır.Soruda da öyle bir kural verilmediğine göre direk eşit alıp çöz.

Ayrıca $A.O \geq G.O$ olduğundan ve sayılar eşitse $A.O=G.O$ olduğundan dolayı ve hiçbir şekilde sınırlandırma veirlmediğinden dolayı $\sqrt [3] {abc}=\dfrac {10} {3}$ yazarak da yapabilirsin.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$f(a,b,c,\lambda)=abc+\lambda(a+b+c-10)$ kuralını veren $f$ çok değişkenli fonksiyonunun farklı değişkenlere göre türevleri $$\dfrac{df}{da}=bc+\lambda\quad \dfrac{df}{db}=ac+\lambda\quad \dfrac{df}{dc}=ab+\lambda\quad \dfrac{df}{d\lambda}=0$$ $$\Rightarrow -\lambda=ab=ac=bc$$ Bu eşitlikleri ikişer ikişer değerlendirelim: $$ab=ac\;(a\neq 0)\Rightarrow b=c......(1)\\ ab=bc\; (b\neq 0)\Rightarrow a=c ......(2)\\ac=bc\;(c\neq 0)\Rightarrow a=b ......(3)$$  $(1)$,$(2)$ ve $(3)$ kullanılarak $a=b=c$ olduğu görülür, o halde $abc$'nin maksimum değeri $\frac{1000}{27}$'dir.

23, Ocak, 23 Deniz Tuna Yalçın (890 puan) tarafından  cevaplandı
23, Ocak, 23 Deniz Tuna Yalçın tarafından düzenlendi

Neden minimum olmali?

Bir insan her şeyi mi tersten yazar hocam?:( sağolun.

Hocam biraz minimum için de düşündüm, $a,b,c\geq0$ için herhangi birini $0$ seçersek minimum değeri elde ediyoruz, ancak bu soru için $a,b,c>0$ koşulu verilmiş. Buradan minimumu bulabilir miyiz? (Bana cevap hayır gibi geliyor ama...)

Yanlis yazdigina dikkat etmemistim. Simdi sen $a=b=c=10/3$ olmasini gerektiren kosullari inceledin.

1) Bu kosullar maksimum, minumum oldugunu verebilir ya da bilgi vermeyebilir. Bu sonuc tam olarak bize ne veriyor? Sana ilk sorum bu.

2) Sadece bu noktayi (ya da burada bulunan noktalari) incelemek yetiyor mu? Bu da ikincisi...

Bunlari bir arastir bence...

...