$\forall r\in(-1,1)$ olsun,$$\lim\limits_{n\to \infty}\left(r+\dfrac1n\right)^n=0$$olduğunu isplatlayınız.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
52 kez görüntülendi

Denemecik 1: 

$\epsilon>0$ olsun ve $n\ge N\in\mathbb N$ iken 

$$\left|\left(r+\dfrac1n\right)^n-0\right|<\epsilon'\tag1$$

sağlanır ise ispatlanır.


$$\left|\left(r+\dfrac1n\right)^n-0\right|<\epsilon$$ ve $$n\ge N_u \quad için\quad |1/n-0|<\epsilon''\tag2$$ olduğu biliniyorsa.

$$|r|<\left|\left(r+\dfrac1n\right)\right|\le \sqrt[n]{\epsilon'}=\epsilon$$

Dolayısıyla aranan ifade $\lim\limits_{n\to \infty}(|r|)^n$ olur ve bu da "(2)" gereği $0$ a yakınsar."http://matkafasi.com/99941/lim_-to-infty-frac-0%24-oldugunu-epsilon-deltayla-gosterelim"

Denemecik 2:

Parantez içine direkt olarak limiti atarsak;

$$\lim\limits_{n\to \infty}\left(r+\dfrac1n\right)^n=\left(\lim\limits_{n\to \infty}r+\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac1n\right)^{\lim\limits_{n\to \infty}n}=\left(r\right)^{\lim\limits_{n\to \infty}n}$$

Ama buradaki sorun, limiti içeri ve yukarı nasıl atıyoruz koşullar nelerdir?

Çözüm için önerileriniz nelerdir?

8, Ocak, 2017 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,702 puan) tarafından  soruldu
8, Ocak, 2017 Anil tarafından yeniden gösterildi

kolay bir soru ama ispat yontemlerini en iyi sekilde ogrenmek istiyorum

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

ilk olarak $n\ge 1$ icin $$\left|r+\frac1n\right| \le |r|+\frac{1}{n}$$ her zaman saglanir. Bir $N$ degeri bulabiliriz ki $n>N$ oldugunda  $$|r|+\frac1n<|r|+\frac1N<1$$ saglanir. (Bunu kolaycana gosterebiliriz.) $$|r|+\frac1N :=c$$ olarak tanimlayalim. Elimizde $n>N$ icin $$0 \le \left|\left(r+\frac1n\right)^n\right| \le c^n$$ olur.  $$\lim\limits_{n\to \infty} 0= \lim\limits_{n \to \infty} c^n=0$$ oldugundan, sikistirma teoremi geregi, $$\lim\limits_{n\to \infty} \left|\left(r+\frac1n\right)^n\right|=0 $$ olur ve dolayisiyla $$\lim\limits_{n\to \infty} \left(r+\frac1n\right)^n=0 $$ olur. (mutlak degeri sifira giden bir dizinin kendisi de sifira gider).

9, Ocak, 2017 Sercan (23,624 puan) tarafından  cevaplandı
9, Ocak, 2017 Anil tarafından seçilmiş

Sondan üçüncü işlemde bir sıkıntı var limitin içi 0 degil

sol ve sag fonksiyon limiti sifira esit manasinda.

c yi 0 a goturup n. kuvvetını de 0 a goturcegını sandım, tamamdır.

...