Matematikteki ilginç özdeşlikleri toplayalım.$$\infty! = \sqrt{2 \pi}$$

3 beğenilme 0 beğenilmeme
212 kez görüntülendi

Sizler de bildiginiz güzel özdeşlikleri yazınız.

1."Logaritma"

$$log(1+2+3)=log1+log2+log3$$
$$\sqrt{n^{\log n}}=n^{\log \sqrt{n}}$$
$$-----------------------$$
2."Toplamlara dair"

$$\left(\sum\limits_{k=1}^n k\right)^2=\sum\limits_{k=1}^nk^3 $$
$$-----------------------$$
3."Gamma fonksiyonundan bir çıkarım"

$$\infty! = \sqrt{2 \pi}$$
$$-----------------------$$
4."https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-312-algebraic-combinatorics-spring-2009/readings-and-lecture-notes/MIT18_312S09_lec10_Patitio.pdf"

$$(1+x)(1+x^{2})(1+x^{3}) \cdots  = \frac{1}{(1-x)(1-x^{3})(1-x^{5}) \cdots}$$
$$-----------------------$$
5."Machin's Formulü:"

$$\begin{eqnarray}\frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}\end{eqnarray}$$

"Trigonometri"
$$\sec^2(x)+\csc^2(x)=\sec^2(x)\csc^2(x)$$

$$\frac{1}{\sin(2\pi/7)} + \frac{1}{\sin(3\pi/7)} = \frac{1}{\sin(\pi/7)}$$

$$\sin(x - y) \sin(x + y) = (\sin x - \sin y)(\sin x + \sin y).$$

$$-----------------------$$
6."$\pi$"




$$\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{8}{7}\cdot\ldots\\$$


$$\frac{\pi}{4} = 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\ldots\\$$


$$\frac{\pi^2}{6} = 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\ldots\\$$


$$\frac{\pi^3}{32} = 1-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\frac{1}{9^3}+\ldots\\$$


$$\frac{\pi^4}{90} = 1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^4}+\ldots\\$$


$$\frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdot\ldots\\ $$


$$\pi = \cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{3+\cfrac{2^2}{5+\cfrac{3^2}{7+\cfrac{4^2}{9+\ldots}}}}}\\$$





$$-----------------------$$
7.

$$\begin{eqnarray}1^{3} + 2^{3} + 2^{3} + 2^{3} + 4^{3} + 4^{3} + 4^{3} + 8^{3} = (1 + 2 + 2 + 2 + 4 + 4 + 4 + 8)^{2}\end{eqnarray}$$

$$\large{1,741,725 = 1^7 + 7^7 + 4^7 + 1^7 + 7^7 + 2^7 + 5^7}$$

$$\large{111,111,111 \times 111,111,111 = 12,345,678,987,654,321}$$

$$\large{1,741,725 = 1^7 + 7^7 + 4^7 + 1^7 + 7^7 + 2^7 + 5^7}$$

$$10^2+11^2+12^2=13^2+14^2$$

$$-----------------------$$
8.

$$\displaystyle\big(a^2+b^2\big)\cdot\big(c^2+d^2\big)=\big(ac \mp bd\big)^2+\big(ad \pm bc\big)^2$$


9.


$$\begin{eqnarray}\sum_{i_1 = 0}^{n-k} \, \sum_{i_2 = 0}^{n-k-i_1} \cdots \sum_{i_k = 0}^{n-k-i_1 - \cdots - i_{k-1}} 1 = \binom{n}{k}\end{eqnarray}$$

10.

$$\frac{e}{2} = \left(\frac{2}{1}\right)^{1/2}\left(\frac{2\cdot 4}{3\cdot 3}\right)^{1/4}\left(\frac{4\cdot 6\cdot 6\cdot 8}{5\cdot 5\cdot 7\cdot 7}\right)^{1/8}\left(\frac{8\cdot 10\cdot 10\cdot 12\cdot 12\cdot 14\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 9\cdot 11\cdot 11\cdot 13\cdot 13\cdot 15\cdot 15}\right)^{1/16}\cdots$$

11.

$$\int_0^\infty\sin\;x\quad\mathrm{d}x=1$$

$$\int_0^\infty\ln\;x\;\sin\;x\quad \mathrm{d}x=-\gamma$$

12."M.V Subbarao özdeşliği: $n(\in\mathbb Z)>22$ ve asal olsun"

$$n\sigma(n)\equiv 2 \pmod {\phi(n)}$$

13.

$$i^i = \exp\left(-\frac{\pi}{2}\right)$$

$$\root i \of i  = \exp\left(\frac{\pi}{2}\right) $$
$$\Rightarrow$$
$$ \frac{4}{\pi } = \displaystyle 1 + \frac{1}{{3 +\displaystyle \frac{{{2^2}}}{{5 +  \displaystyle\frac{{{3^2}}}{{7 +\displaystyle \frac{{{4^2}}}{{9 +\displaystyle \frac{{{n^2}}}{{\left( {2n + 1} \right) +  \cdots }}}}}}}}}} $$

14."http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/math-future.pdf"


$$\int_{0}^{\infty }\cos\left ( 2x \right )\prod_{n=0}^{\infty}\cos\left ( \frac{x}{n} \right )~\mathrm dx\approx \frac{\pi}{8}-7.41\times 10^{-43}$$


15.


$$\int_0^\infty\frac1{1+x^2}\cdot\frac1{1+x^\pi}dx=\int_0^\infty\frac1{1+x^2}\cdot\frac1{1+x^e}dx$$

16.

$$\begin{eqnarray}\sum_{k = 0}^{\lfloor q  - q/p) \rfloor} \left \lfloor \frac{p(q - k)}{q} \right \rfloor = \sum_{k = 1}^{q} \left \lfloor \frac{kp}{q} \right \rfloor\end{eqnarray}$$

17.

$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\mu(n)}{n}=1-\frac12-\frac13-\frac15+\frac16-\frac17+\frac1{10}-\frac1{11}-\frac1{13}+\frac1{14}+\frac1{15}-\cdots=0$$

18.

$$\frac{\pi}{4}=\sum_{n=1}^{\infty}\arctan\frac{1}{f_{2n+1}}$$

19.

$$\prod_{k=1}^{n-1}2\sin\frac{k \pi}{n} = n$$

20.

$$\frac{1 - \cos \alpha + \sin \alpha}{1 + \cos \alpha + \sin \alpha} = \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}$$

21.

$$\boxed{\boxed{\begin{align}E &=\sqrt{\left(pc\right)^{2} + \left(mc^{2}\right)^{2}}=mc^{2}+\left[\sqrt{\left(pc\right)^{2}  \left(mc^{2}\right)^{2}} - mc^{2}\right]\\[3mm]&=mc^{2}+{\left(pc\right)^{2} \over \sqrt{\left(pc\right)^{2} \left(mc^{2}\right)^{2}} + mc^{2}}=mc^{2}+{p^{2}/2m \over 1 + {\sqrt{\left(pc\right)^{2} + \left(mc^{2}\right)^{2}} - mc^{2} \over 2mc^{2}}}\\[3mm]&=mc^{2}+{p^{2}/2m \over 1 + {p^{2}/2m \over \sqrt{\left(pc\right)^{2} + \left(mc^{2}\right)^{2}} + mc^{2}}}=mc^{2}+{p^{2}/2m \over 1 +{p^{2}/2m \over 1 + {p^{2}/2m \over \sqrt{\left(pc\right)^{2} + \left(mc^{2}\right)^{2}} - mc^{2}}}}\end{align}}}$$

22.
Euler sayısı $e$

Aurea Altın oran $\phi$

Euler-Mascheroni sabiti $\gamma$

ve  $\pi$.


$$e\cdot\gamma\cdot\pi\cdot\phi \approx e + \gamma + \pi + \phi$$
6, Ocak, 6 Serbest kategorisinde Anıl (6,706 puan) tarafından  soruldu
6, Ocak, 6 Anıl tarafından düzenlendi

Çorba olacak bir  başlık gibi. 11de hata var sanki.

niye corba olsunki bilen yazsa super şeyler çikabilir, 11 i kontrol edeyim

Anıl özdeşliği ne anlamda kullanıyoruz? "Değişkenler verdiğimiz her değer için sağlanan eşitlikler özdeşliktir" diye mi?

Evet öyle hocam, ayrıca ilginç eşitlikler, eşitsizlikler ve durumları da paylaşabılırız 

Sonsuz faktöriyel ne demek? Faktöriyel doğal sayılarda tanımlı değil mi?

Gamma fonksiyonu için hayır ;)

sonsuz faktöriyel ne demek ki?

efsane unutulmuş

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ 

:)

Hocam liseli cahilliğimden soruyorum, $\sigma \left( n\right)$ fonksiyonu tam olarak ne oluyor ? 

pozitif bolenler toplami. 

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$$

$$\text{ve} \quad\quad x=\pi\quad \quad \text{icin}$$


$$e^{i\pi}+1=0$$

10, Ocak, 10 Okkes Dulgerci (1,258 puan) tarafından  cevaplandı

belkı de en iyisi.

Nerdeyse tamsayi olan askin sayilar..

$$e^{\pi\sqrt{163}}\approx 262537412640768743.99999999999925...$$



$$\sin(2017\sqrt[5]{2})\approx-0.9999999999999999785...$$

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Parçalanış sayısı ile alakalı

 $P\left( n\right) \approx \dfrac {e^{\pi \sqrt {\dfrac {2n} {3}}}} {4n\sqrt {3}}$

13, Ocak, 13 Dogukan633 (767 puan) tarafından  cevaplandı

hangi parçalanışlar, tam anlayamadım ama yeterince ilginç gözüküyor .

Mesela $3$ sayısı $3$ , $1+2$ , $1+1+1$  şeklinde yazılabilip $p(3) = 3$ tür.

Daha ayrıntılı bilgi için MD - 2003 - I sayfa 25 e bakabilirsiniz.

Anıl hocam "M.V subbarao" adlı özdeşlik hakkında daha ayrıntılı bilgiyi nerde bulabilirim ?

Bu formul bu haliyle dogru olamaz.

$P(n)$ giderek buyuyen bir sayi, $n$ sonsuza giderken $P(n)$ de sonsuza gidiyor. Ama sag taraftaki limit $n$ sonsuza giderken sifira gidiyor. Yani cok buyuk dogal sayilar icin sol taraf cok buyukken, sag taraf cok kucuk. 

...