$(x_n)_n$ yakınsak ise $(|x_n|)_n$ yakınsak mıdır? ve $\lim\limits_{n\to\infty}|x_n|=\left|\lim\limits_{n\to\infty}x_n\right|$

3 beğenilme 0 beğenilmeme
53 kez görüntülendi

Soru 1:

$(x_n)_n$ yakınsak ise $(|x_n|)_n$ yakınsak mıdır? 

Soru 2:


$\lim\limits_{n\to\infty}|x_n|=\left|\lim\limits_{n\to\infty}x_n\right|$ 

Bu eşitlik doğru mudur? 


Soru 1 için denemem:


$(x_n)_n$ yakınsak ise $|x_n-L|<\epsilon$    için $\quad n\ge N\in\mathbb N$ olacak bir $N$ buluruz.

$(|x_n|)_n$ yakınsak mıdır?  

Yakınsak olması için aşşağıdaki önerme sağlanmalı;

$||x_n|-|L||<\epsilon$   için  $\quad n\ge N\in\mathbb N$ olacak bir $N$ bulmalıyız ki $(x_n)_n$ için zaten bulunmuş, şöyle ki;

$||x_n|-|L||\le |x_n-L| <\epsilon$   için  $\quad n\ge N\in\mathbb N$ bulunurmuş, $\Box$

"http://matkafasi.com/99514"

Soru 2 için denemem:



$\lim\limits_{n\to\infty}|x_n|$   için;

$||x_n|-|L||<\epsilon$ için bir $n\ge N$ dogal sayısı bulmalıyız, çünki limiti $|L|$ diye bekliyorum.

$-------------------$

$\left|\lim\limits_{n\to\infty}x_n\right|$ için;

$|x_n-|L||<\epsilon$ için bir $n\ge N$ dogal sayısı bulmalıyız, çünki limiti $|L|$ diye bekliyorum.


Şu eşitlik doğru olduğundan;

$|x_n-|L||<||x_n|-|L||<|x_n-L|$

ve   $|x_n-L|<\epsilon$   için  $n\ge N$ dogal sayısı bulabildigimden;

$|x_n-|L||<||x_n|-|L||<|x_n-L|<\epsilon$   için  $n\ge N$ dogal sayısı sağlanıyormuş demekki. $\Box$



21, Aralık, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,729 puan) tarafından  soruldu
...