$\displaystyle \sum^\infty_{n=0} \frac{sin^{2n}x}{2n+1}$ serisinin yakınsadığı değeri bulalım

0 beğenilme 0 beğenilmeme
94 kez görüntülendi

$x$, $\left(\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{2} \right)$ açık aralığında olmak üzere,

$\displaystyle \sum^\infty_{n=0} \frac{sin^{2n}x}{2n+1}$ serisinin yakınsadığı değeri bulalım

Ben bunu buldum. Ama açıkçası daha matematiksel bir yol arıyorum. Yönlendirme olmasın diye şimdilik çözümümü yazmıyorum.

19, Aralık, 2016 Lisans Matematik kategorisinde sonelektrikbukucu (2,871 puan) tarafından  soruldu
19, Aralık, 2016 sonelektrikbukucu tarafından düzenlendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Ilk olarak $\sin x=\pm1$ oldugunda bu seri yakinsamaz. 

$|a|<1$ olsun. Bu durumda $$\sum_{n=0}^\infty a^{2n+1}=a\sum_{n=0}^\infty a^{2n}=a\sum_{n=0}^\infty (a^2)^{n}=a\frac{1}{1-a^2}=\frac{a}{1-a^2}$$ olur. Geometrik serilerin turevini toplam icerisine atabiliriz (mi?). Bu durumda $$\frac{d}{da}\sum_{n=0}^\infty a^{2n+1}=\sum_{n=0}^\infty \frac d{da}\left(a^{2n+1}\right)=\sum_{n=0}^\infty (2n+1)a^{2n}$$ olur. Bu deger de $$\frac{d}{da}\left(\frac{a}{1-a^2}\right)$$ degerine esit.

$a=\sin x$ degeri icin $$\sum_{n=0}^\infty (2n+1)\sin^{2n}x$$ degerini bulabiliriz. Turev yerine integral alarak da istedigimiz sonuca ulasabiliriz.

19, Aralık, 2016 Sercan (23,213 puan) tarafından  cevaplandı
19, Aralık, 2016 Sercan tarafından düzenlendi

$\displaystyle \frac{d}{da}(a^{2n+1})=\frac{a^{2n}}{2n+1}$ mi?

Ama evet, dediğiniz aralık kısıtlaması doğru, çözerken dikkat etmiştim ama yazarken dikkat etmemişim, düzeltiyorum.

Evet, turev-integral karmasasi olmus. 

Ben de böyle çözdüm, başka çözüm yolu var mıdır? En rahat yol bu mudur?

Bana gore bu. Senin baska bir cozum bulup paylasman gerekli artik. 

Ne demek başka çözüm bulmam gerek :( Benim yolumdan siz çözdünüz ama napayım ki ben şimdi :)

O zaman site kurallarana uymamis olur sorun. Bir cevap paylasacaksin artik, o vaadlerle cozdum ben bu soruyu. Bundan sonra boyle bir soru paylasirsan yonetim olarak direkt kaldiririz o zaman ;)

Admin bey öğrenmeye teşvik amaçlı tehditte bulundu sanırım :)

Geometrik serilerin turevini toplam icerisine atabiliriz (mi?).

Bunu nerden bılıyoruz kı? Bu cevap tam dogru degıl.

Bu soruyu da sen cevapla Anil?

toplam sembolu her genel terımı ayrık toplamlar şeklınde yazdıgından ve turev toplamaya dagılmalı oldugundan bu eşıtlık geçerlidir.

ayrik toplamlar? 

yani sunu mu diyorsun, her zaman degistirebiliriz?

genel terim $a_n$ için ; $\lim\limits_{h\to0}\dfrac{a_{(n+h)}-a_n}{h}$ limitinin var olması gerek.

$a_{n+h}$ derken? Dizide  gercel yaklasim mi?

evet ;)                

...