Sonuç 20.9. Sadece kesirli sayılarda sürekli olan birf:R→R fonksiyonu yoktur. Kanıt: f: bir fonksiyon olsun. U(n), {U:U açık ve f(U) nun çapı 1n den küçük} kümesinin elemanlarının bileşimi olsun. U(n), açık kümelerin bileşimi olduğunudan, elbette açık bir kümedir. C=⋂U(n) olsun. C tam tamına f nin sürekli olduğu elemanlar kümesidir. Bunun kanıtı basittir ve okura bırakılmıştır. Sonuç 20.8ye göre C=Q olamaz.
Sonuç 20.8. Q, R nin sayılabilir sayıda açık altkümesinin kesişimi değildir.