Question

Bir $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonun, sürekli olduğu noktalar kümesi tam olarak $\mathbb{Q}$ olabilir mi?

Answer 1

Ali nesinin topoloji kitabındaki baire teoremi bölümünde var.

Comments

Peki nedir??

Answer 2

Sonuç 20.9. Sadece kesirli sayılarda sürekli olan bir$f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu yoktur. Kanıt: $f$: bir fonksiyon olsun. $U(n)$, {$U : U$ açık ve $f(U)$ nun çapı $\frac1n$ den küçük} kümesinin elemanlarının bileşimi olsun. $U(n)$, açık kümelerin bileşimi olduğunudan, elbette açık bir kümedir. $C =  \bigcap U(n )$ olsun. $C$ tam tamına $f$ nin sürekli olduğu elemanlar kümesidir. Bunun kanıtı basittir ve okura bırakılmıştır. Sonuç 20.8ye göre $C = \mathbb{Q}$ olamaz.

Sonuç 20.8. $\mathbb{Q},\ \mathbb{R}$ nin sayılabilir sayıda açık altkümesinin kesişimi değildir.