Sav'ı ispatlayalım ve sezgısel metod : $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty f(n)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty(f(n)+f(-n))$

1 beğenilme 0 beğenilmeme
67 kez görüntülendi

Ek küçük soru;
 
Sav:

$\boxed{\boxed{\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty f(n)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty f(n)+\displaystyle\sum_{n=-\infty}^0 f(n)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty(f(n)+f(-n))}}$

$\boxed{\boxed{\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty f(n)=\begin{cases}f(n)\;\;\text{çift  fonksiyonsa},\quad 2\displaystyle\sum_{n=0}^\infty f(n)\\ f(n)\;\;\text{tek  fonksiyonsa},\quad 0=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty f(n)+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty f(-n) \end{cases}\displaystyle}}$



Zamanında @Ozgürle bu durumu tartışmıştık sitede, ama formal bir yöntemi olup olmadığını merak ediyorum.

Metod 1(sezgisel):

Elimde bir toplam var ve bu toplam sayı doğrusunun en solundan geliyor ama en sol derken en solun en ötelerinden yani $-\infty$ ve nereye gidiyor, tabiki de en sağa doğru en sağın en ötesine , $+\infty$'a gidiyor.Yani sayı doğrusunu baştan sona tur atıyorsam , ve sayıların indisini belirleyen sayı doğrum $0$ a göre simetrikse şöyle diyebilirim, 0'dan sağa ve sola doğru giderken sağa dogru giderkenkileri zaten 0dan +sonsuza tanımlıyorum, 0 dan -sonsuz içinse ,toplamı 0dan sonsuza tanımlayıp içindeki indisi -1 ile çarparım dolayısıyla sağa dogru gıderken aslında sola dogru gıtmış olurum, özel olarak, fonskiyın çiftse $f(n)=f(-n)$ ve fonkisyon tek ise $f(n)=-f(n)$ özelliklerini de kullanarak savımı ispatlarım;

Elimde toplamlarla ilgili şu teorem var;

Genel kuralın spesifik hali;

$(-b),a\;\in\mathbb R^-$ için;

$\displaystyle\sum_{n=a}^b f(n)=\displaystyle\sum_{n=a}^0 f(n)+\displaystyle\sum_{n=0}^b f(n)=\displaystyle\sum_{n=0}^b f(n)+\displaystyle\sum_{n=0}^a f(-n)$


Limite uygularsak ve bu linkten $\infty$'e uygulayabileceğim hakkımı alırsam;  (http://matkafasi.com/100637)

$\lim\limits_{\left(\begin{matrix}a\to-\infty\\ b\to\infty \end{matrix}\right)}\displaystyle\sum_{n=a}^b f(n)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty f(-n)+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty f(n)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\left( f(n)+f(-n)\right)$   ,  $\Box$

Daha genel bir durum sunabilir misiniz? Daha formal ispatlayabilir miyiz?

5, Aralık, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,670 puan) tarafından  soruldu
5, Aralık, 2016 Anil tarafından düzenlendi

Yani evet, bence de çok komik, tek kelimelik bir şeyi tek bir sayfa anlatmak ,ancak düşününce -sonsuzdan toplayarak gelmek inanılmaz derecede ilginç.

Bu soru ile ayni herhalde?

o soru daha spesıfık .

Tam olarak nasil spesifik, ayni sorular..

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Sonsuzdan gelerek toplama yapılmıyor, sonsuza giderek toplama yapılıyor. Esasen $-\infty$ ile $+\infty$ arasında pek bir fark yok. Aslında sonsuza giderek de yapılmıyor zira sonsuz diye bir yer yok. Yukarıda yapılan ispat da yanlış, doğru olma olasılığı da yok, çünkü iddia yanlış. Eğer $f(n)$ değerleri mutlak yakınsak ise yukarıdaki gibi ikiye ayırabilirsin limiti. Formal olarak:


$$\sum_{-\infty}^{\infty}a_n:=_{\text{Bu bir tanım}}\lim_{\substack{n\rightarrow \infty\\ m\rightarrow -\infty }}\sum_{i=m}^na_i $$


Tanımdan da görüleceği gibi sonsuzdan gelinmiyor. İspatın yanlışlığına gelelim. O limitler öyle ayrılamaz. Örnek: $f(n)=\frac{1}{2n}$ olsun $n>0$ için $f(n)=\frac{1}{2n-1}$ olsun $n<0$ için. Bu durumda sonsuz toplam harmonik serinin teleskopik toplamı olacak. Yani $\pi$'li bir şeylere eşit olacak. Öte yandan, iki toplamı ayrı ayrı yaptığın zaman ikisi de ıraksayacak. 


Bunun bir başka örneği yasaklanmış Eisenstein serisi $E_2$'de görebilirsin. Stein ve Shakarchi'nin Complex Analysis kitabının Elliptic functions bölümünde (ya da bir sonraki bölümünde tam anımamıyorum)  $E_2$'nin tanımı ve toplamının sırasının önemine dair detaylı bir çalışmayı bulabilirsin.


5, Aralık, 2016 Safak Ozden (3,393 puan) tarafından  cevaplandı
8, Aralık, 2016 Anil tarafından seçilmiş

Çok teşekkürler.

Bu arada, benim söylediğim de tam olarka doğru değil. Yani, benim verdiğim limitli tanımla harmonik serinin teleskopik toplamı elde edilmiyor. Sırayı birazcık ötelediğinde toplam baya değişecek. Yine de esası baki yanıtın. 

ben de bu kabulu gercek sandim cunki bir sonraki sorumda bunu saglamayan serileri yazicaktim , tam odaklanip toparliyayim bunu,tesekkurler.

Zaten o limitin anlamlı olması için $a$ ve $b$'nin nasıl arttığını belirlemek gerekiyor. Belirlemeyince sıra sürekli değişiyor ve sözü edilen problemle karşılaşıyorsun. Örneğin, şöyle yapalım. Limiti m=-n-10 olsun, ve o çifte limiti böyle alalım. Yani negatif taraftan 10 tane eleman fazladan toplama katılsın. Bu durumda dizinin bütün terimleri negatif, yani istediğimiz sonucu verecek olamaz limiti.

...