Çok değişkenli fonksiyonlarda maximum ve minimum sorusu.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
1,056 kez görüntülendi
Teşekkürler. $F(x,y)= x^2 - y^2$ fonksiyonunun $x^2+y^2= 1$ kümesi uzerindeki mAX ve min noktaları bulunuz hesaplayınız
13, Mayıs, 2015 Lisans Matematik kategorisinde rayman2 (48 puan) tarafından  soruldu
30, Kasım, 30 alpercay tarafından yeniden etikenlendirildi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$$F(x,y)=x^2-y^2$$ kuralı ile verilen $$F:\{(x,y)\mid x^2+y^2=1, (x,y)\in \mathbb{R}^2 \}\longrightarrow \mathbb{R}$$ fonksiyonunun grafiği semer eğrisidir. Her ne kadar $(0,0)$ noktasındaki kısmi türevler sıfır olsa da $(0,0)$ noktasında yerel minimum ya da yerel maksimum yoktur. Ayrıca bu fonksiyon minimum değerlerini $A(0,-1)$ ve $B(0,1)$ noktalarında; maksimum değerlerini de $C(-1,0)$ ve $D(1,0)$ alır. (Neden? Bunu biraz düşünmenizi tavsiye ederim.) 

Ayrıca $A$ ile $B$ noktalarında aldığı değer $$F(0,-1)=F(0,1)=-1$$ ve $C$ ile $D$ noktalarında aldığı değer $$F(-1,0)=F(1,0)=1$$ olacaktır.

13, Mayıs, 2015 murad.ozkoc (9,032 puan) tarafından  cevaplandı
13, Mayıs, 2015 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

Hocam çemberi fonksiyona entegre ettim. Yani kisitlayici faktör olan çemberii önce x e göre çözdüm fonksiyonda yerine koydum x e göre türev aldım. Sonra y ye göre çözdüm tekrar yerine koydum y ye göre türev aldım. En son fonksiyonunun kendi ektektremumu olan 0,0 i da buldum. Sonuç olarakk 0,1 0,-1    1,0  -1,0 ve 0,0 buldum. Ama anlamadigim nokta niye bide y ye göre çözüyoruz

Birim çemberi $x=\cos t,\ y=\sin t$ şeklinde parametrize ederek, bir değişkenli fonksiyonun maksimum ve minimumunu bulmaya dönüştürebilirsiniz.

...